MÉTODO MONTECARLO, Obtención de Números Aleatorios, Generadores de Números Aleatorios

MÉTODO MONTECARLO

El método de Montecarlo permite resolver problemas matemáticos mediante la simulación de variables aleatorias.

John Von Neumann, en los anos 40 y con los primeros ordenadores, aplica la simulación para resolver problemas complejos que no podían ser resueltos de forma analítica.

Montecarlo y su casino están relacionados con la simulación  La ruleta, juego estrella de los casinos, es uno de los aparatos mecánicos mas sencillos que nos permiten obtener números aleatorios para simular variables aleatorias.

Obtención de Números Aleatorios

Fuentes de Números Aleatorios

El fundamento del método de Montecarlo y de la simulación son los números aleatorios:

- Tablas de números aleatorios.

- Generadores de números aleatorios.

- Números pseudo aleatorios.

¿Como medir la aleatoriedad de los números usados?

Sean ν0, ν1, . . . , ν9 la frecuencia absoluta de los números 0, 1, . . . , 9 en una tabla de números aleatorios.

Ademas existen tests de rachas para detectar patrones.

Generadores de Números Aleatorios

Los dispositivos mecánicos resultan demasiado lentos para generar cifras aleatorias.

Un método mas rápido es la utilización del ruido:

Si el ruido en la fluctuación de un voltaje sobrepasa en un intervalo de tiempo ∆t un umbral

determinado un numero par de veces, incluiremos un 0. Si por el contrario han sido un numero impar, incluiremos un 1.

Debiéndose obtener que P(0) = P(1) = 1/2.

En estos métodos también es necesario vigilar la calidad de los n´umeros aleatorios generados.

MÉTODO MONTECARLO, ORIGEN, VENTAJAS Y DESVENTAJAS

MÉTODO MONTECARLO

ORIGEN 

El método de Montecarlo es un método no determinístico estadístico numérico, usado para aproximar expresiones matemáticas complejas y costosas de evaluar con exactitud. El método se llamó así en referencia al Casino de Montecarlo (Principado de Mónaco) por ser “la capital del juego de azar”, al ser la ruleta un generador simple de números aleatorios. El nombre y el desarrollo sistemático de los métodos de Montecarlo datan aproximadamente de 1944 y se mejoraron enormemente con el desarrollo de la computadora.

El uso de los métodos de Montecarlo como herramienta de investigación, proviene del trabajo realizado en el desarrollo de la bomba atómica durante la Segunda Guerra Mundial en el Laboratorio Nacional de Los Álamos en EE. UU. Este trabajo conllevaba la simulación de problemas probabilísticos de hidrodinámica concernientes a la difusión de neutrones en el material de fisión. Esta difusión posee un comportamiento eminentemente aleatorio. En la actualidad es parte fundamental de los algoritmos de Raytracing para la generación de imágenes 3D.El método de Montecarlo proporciona soluciones aproximadas a una gran variedad de problemas matemáticos posibilitando la realización de experimentos con muestreos de números pseudoaleatorios en una computadora. El método es aplicable a cualquier tipo de problema, ya sea estocástico o determinista. A diferencia de los métodos numéricos que se basan en evaluaciones en N puntos en un espacio M-dimensional para producir una solución aproximada, el método de Montecarlo tiene un error absoluto de la estimación que decrece como  en virtud delteorema del límite central.En la primera etapa de estas investigaciones, John von Neumann y Stanislaw Ulam refinaron esta ruleta rusa y los métodos "de división" de tareas. Sin embargo, el desarrollo sistemático de estas ideas tuvo que esperar al trabajo de Harris y Herman Kahn en 1948. Aproximadamente en el mismo año, Enrico Fermi, Nicholas Metropolis y Ulam obtuvieron estimadores para los valores característicos de la ecuación de Schrödingerpara la captura de neutrones a nivel nuclear usando este método.

VENTAJAS Y DESVENTAJAS

Ventajas

- Es un método directo y flexible.

- Existe un amplio abanico de programas y lenguajes destinados a simular.

- Cuando el modelo matemático es demasiado complicado la simulación permite obtener una aproximación.

- La simulación nos permite formular condiciones extremas con riesgos nulos.

- La simulación no interfiere con el mundo real. Permite experimentar.

- Permite estudiar la interacción entre las diferentes variables del problema.

- Mediante la simulación podemos “influir en el tiempo” de los procesos.

- La simulación permite resolver problemas que no tienen solución analítica.

Desventajas

- Una buena simulación puede resultar muy complicada, gran numero de variables.

- La simulación no genera soluciones Optimas globales.

- No proporciona la decisión a tomar, sino que resuelve el problema mediante aproximación para unas condiciones iniciales.

- Cada simulación es única, interviene el azar.

MODELOS

LINEAS DE ESPERA ESPECIALIZADAS DE POISSON

Modelos con un solo servidor

• Modelo (M/M/1):(DG/∞/∞)

Este es un modelo con un solo servidor, sin lımite en la capacidad del sistema o de la población. Se supone que las tasas de llegadas son independientes del numero en el sistema, es decir, λ_n = λ. Similarmente, se supone que el servidor completa su servicio a una tasa constante, es decir, µ_n = µ.

Definiendo  ρ =(λ/µ) , del modelo generalizado de Poisson tenemos que

p_n = ρ_np₀

Como 1 = p₀ (1 + ρ + ρ²+ · · ·) = p₀(1/(1−ρ)) tenemos que p₀ = 1 − ρ.

•  Modelo (M/M/1):(DG/N/∞)

La única diferencia con el modelo anterior es que el numero máximo de clientes permitidos en el sistema es N, es decir, la longitud máxima de la cola de espera es N − 1.

En términos del modelo generalizado esta situación se traduce en

Haciendo ρ =(λ / µ) , obtenemos

 El valor de p₀ esta dado por

La formula para p_n se puede resumir como

Modelos con varios servidores

• Modelo (M/M/c):(DG/∞/∞)

En este modelo los clientes llegan con una tasa constante λ y un maximo de c clientes son atendidos simultaneamente. La tasa de servicio por servidor activo es tambien constante e igual a µ. Al usar c servidores paralelos se acelera la tasa de servicio. Si el numero de clientes en el sistema n es igual o excede a c, la tasa combinada de servicio es igual a cµ. Por otra parte, si n es menor que c, la tasa combinada de salidas es de nµ. En términos del modelo generalizado tenemos:

 

Haciendo ρ = (λ/µ), obtenemos

 

El valor de p₀ esta dado por

 

• Modelo (M/M/c):(DG/N/∞)

La unica diferencia con el modelo anterior es que el numero maximo de clientes permitidos en el sistema es N, es decir, la longitud maxima de la lınea de espera es N − c.

En terminos del modelo generalizado esta situacion se traduce en

 

Haciendo ρ =(λ/µ) , obtenemos

 

El valor de p₀ esta dado por:

• Modelo (M/M/∞):(DG/∞/∞)- Modelo de Autoservicio

En este modelo, el numero de servidores es ilimitado porque el cliente mismo es tambien un servidor. Este es normalmente el caso en los establecimientos de autoservicio. Una vez mas en terminos del modelo generalizado se tiene:

λ_n =λ ; n ≥ 0

µ_n =µn ; n ≥ 0

Haciendo ρ =λ/µ,  obtenemos

p_n =(ρⁿ/n!)p₀

           

El valor de p₀ est´a dado por

p₀ = exp^−ρ