LINEAS DE ESPERA CON LLEGADAS Y SALIDAS COMBINADAS

LINEAS DE ESPERA CON LLEGADAS Y SALIDAS COMBINADAS

Una notación de las líneas de espera en paralelo se ha estandarizado en el formato siguiente:

(a/b/c):(d/e/f)

Donde los símbolos representan lo siguiente:

a= distribución de llegadas

b= distribución del tiempo de servicio (o de salidas)

c= numero de servidores en paralelo (c=1,2,3…. )

d= disciplina del servicio (plps, dg,..)

e= numero máximo admitido en el sistema (línea de espera + en servicio)

f= tamaño de la fuente de llamadas

La notación estándar remplaza los símbolos a y b de llegadas y salidas por los códigos siguientes.

M= distribución de llegadas o salidas de poisson ,o, lo que es lo mismo, distribución exponencial entre llegadas o tiempo de servicio.

D=tiempo entre llegadas o de servicio constante o determinística.

E_k= distribución de erlang o gamma de la distribución de tiempo entre llegadas o de servicio con el parámetro k.

GI= distribución de llegada general independiente(o tiempo entre llegadas).

G= distribución de salidas general (o tiempo de servicio).

Para ilustrar la notación, considérese (DG, disciplina general en la notación de Kendal)

(M/D/10): (DG/N/∞)

Por ejemplo, indica que la llegada es Poisson, tiempo de servicio constante y 10 servidores para prestar el servicio, la disciplina de la cola es general, solo se puede alojar N clientes y la población que puede llegar a usar el servicio es infinita. La idea de esta notación fue dada por Kendall en 1953, quien la utilizo en la forma (1/2/3), a esta notación se le conoce en al literatura como notación de Kendall.

Modelo generalizado de poisson

La meta inmediata del modelo generalizado es deducir una expresión para p_n que es la probabilidad que haya exactamente n clientes en el sistema como una función de λ_n la tasa de llegada y de µ_n la tasa de salida. Este modelo es de estado estable (no dependen del tiempo) para la línea generalizada de Poisson con c servidores en paralelo.

Por la naturaleza del problema, cuando el proceso de Poisson se encuentra en el estado n, solo se podrá comunicar con los estados n − 1 o n + 1 con probabilidades de transición µ_n y λ_n−1 respectivamente. Bajo las condiciones de estado estable, deseamos que las tasas 3esperadas de flujo entrante y saliente del estado n sean iguales. Como el estado n se comunica solo con n − 1 y n + 1 entonces tenemos

Similarmente,

(Tasa esperada de flujo entrante desde el estado n) = λ_n−1p_n−1 + µ_n+1p_n+1

(Tasa esperada de flujo saliente desde el estado n) = (λ_n + µ_n)p_n

Igualando las dos tasas obtenemos la ecuación de equilibrio que:

λ_n−1p_n−1 + µ_n+1p_n+1 = (λ_n + µ_n)p_{n      ;}        n = 1, 2, 3, . . .

Para el caso n = 0 tenemos que el estado 0 solo se comunica con el estado 1.

 De donde: λ₀ p₀ = µ₁ p₁

Las ecuaciones de equilibrio se resuelven en forma recursiva comenzando con p1 y procediendo por inducción para determinar p_n. De la ecuación de equilibrio para n = 0, obtenemos

P₁ = (λ₀ / µ₁) p₀

A continuación, para n=1 tenemos

λ₀ p₀ + µ₂ p₂ = (λ₁ + µ₁) p₁

Sustituyendo p₁ = (λ₀/µ₁) p₀ y simplificando tenemos

p₂ =((λ₁ λ₀)/(µ₂ µ₁)) p₀

En general, podemos demostrar por inducción que 

P_n =((λ_n-1λ_n-2 · · · λ₀)/(µ_n µ_n-1 · · · µ₁)) p₀    ;    n = 1, 2, . . .

El valor de p₀ se determina con la siguiente ecuación:

 Medidas de desempeño en estado estable 

Las siguientes denticiones son utilizadas para analizar la operación de las líneas de espera con el fin de hacer recomendaciones sobre el diseño del sistema:

Ls =numero esperado de clientes en el sistema.

Lq =numero esperado de clientes en la cola.

Ws =tiempo estimado de espera en el sistema.

Wq =tiempo estimado de espera en la cola.

MODELO DE COLAS O TEORÍA DE COLAS

MODELO DE COLAS O TEORÍA DE COLAS

Es una colección de modelos matemáticos que describen sistemas de líneas de espera particulares o de sistemas de colas. Los modelos sirven para encontrar el comportamiento de “estado estable”, como la longitud promedio de la línea (cola) y el tiempo de espera promedio para un sistema dado.

La teoría de colas generalmente es considerada una rama de investigación operativa porque sus resultados a menudo son aplicables en una amplia variedad de situaciones como negocios, comercio, industria, ingenierías, transporte y telecomunicaciones.

Los objetivos de la teoría de colas:

• Identificar el nivel óptimo de capacidad del sistema que minimiza el coste del mismo.
• Evaluar el impacto que las posibles alternativas de modificación de la capacidad del sistema tendrían en el coste total del mismo.
• Establecer un balance equilibrado (“óptimo”) entre las consideraciones cuantitativas de costes y las cualitativas de servicio.
• Prestar atención al tiempo de permanencia en el sistema o en la cola de espera

Su esquema es el siguiente:

El sistema es el conjunto de la cola y los servidores 

Medidas de eficiencia: lo que se quiere saber del sistema

1. Tamaño de la cola (promedio)
2. Tiempo promedio de espera del elemento servido
3. Tiempo promedio del servicio (servidor)

Elementos :

- Clientes ( no necesariamente tienen que ser personas).

- Servidores

- Fuente (puede ser finita o infinita)

Disciplina de la cola: la manera como llegan o se comportan los elementos del sistema.

PLPS: primero que llega, primero que sale.
ULPS: ultimo que llega, primero que sale.
SEOA: sistemas aleatorios.
PRIORITARIO

DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

La distribución de Poisson describe las llegadas por unidad de tiempo y la distribución exponencial estudia el tiempo entre cada una de estas llegadas. Si las llegadas son de Poisson, el tiempo entre ellas es exponencial. La distribución de Poisson es discreta, mientras que la distribución exponencial es continua, porque el tiempo entre llegadas no tiene por qué ser un número entero.

Esta distribución se usa mucho para describir el tiempo entre eventos, específicamente, la variable aleatoria que representa el tiempo necesario para servir a la llegada. Un ejemplo típico puede ser el tiempo que un médico dedica a un paciente.

- Las llegadas son aleatorias e independientes.
- Se describe a partir de la siguiente función de densidad:

-  Su función de distribución:

- Valor de la media: 1/λ

- Po = e^(-λx); de que no hayan eventos.

DISTRIBUCIÓN DE POISSON (la inversa de la EXP.)

Esta distribución es muy frecuente en los problemas relacionados con la investigación operativa, sobre todo en el área de la gestión de colas. Suele describir, por ejemplo, la llegada de pacientes a un ambulatorio, las llamadas a una central telefónica, la llegada de coches a un túnel de lavado, etc. Todos estos casos pueden ser descritos por una variable aleatoria discreta que tiene valores no-negativos enteros. 
- Variable con eventos discretos.
- Intervalo: n= 0, 1, 2, 3,4 ....... n


- Función de densidad :  ; n=  0, 1, 2, 3,4 ....... n 

- Valor medio: 

- Probabilidad acumulada: 
                                             

-   

MODELO DE NACIMIENTOS PUROS Y MUERTES PURAS

Son dos situaciones de colas distintas en la primera de modelo de nacimientos puros es en el que solo se permiten llegadas como por ejemplo la emisión de los certificados de nacimiento para los recién nacidos, y el segundo de modelo de muertes puras es en el que solo se permiten salidas como por ejemplo el retiro aleatorio de un artículo en una tienda. 

La distribución exponencial se usa para describir el tiempo entre llegadas en el modelos de nacimientos puros, y el tiempo entre salidas en el modelos de muertes puras. En estos modelos se demuestra la estrecha relación entre la distribución exponencial y de poisson, en el sentido que una define en forma automática a la otra.La distribución exponencial se usa para describir el tiempo entre llegadas en el modelos de nacimientos puros, y el tiempo entre salidas en el modelos de muertes puras. En estos modelos se demuestra la estrecha relación entre la distribución exponencial y de poisson, en el sentido que una define en forma automática a la otra.

Modelo de nacimientos puros

- Solo permite ingresos al sistema, no permite salidas. ejemplo: cementerio, cédulas.

, λ = frecuencia de llegada

; n=  0, 1, 2, 3,4 ....... n 

ejemplo: 

Modelo de muertes puras

Considere la situación de almacenar N unidades de artículo al inicio de la semana, para satisfacer la demanda de los clientes durante la semana. Si suponemos que la demanda se presenta a una tasa de µ unidades por día y que el proceso de demanda es completamente aleatorio, la probabilidad asociada de tener n artículos en el almacén después de un tiempo t, la da la siguiente distribución truncada de Poisson:

; n = 0,1,2,3, ..., N

; n = 1,2,3, ..., N