LINEAS DE ESPERA CON LLEGADAS Y SALIDAS COMBINADAS

LINEAS DE ESPERA CON LLEGADAS Y SALIDAS COMBINADAS

Una notación de las líneas de espera en paralelo se ha estandarizado en el formato siguiente:

(a/b/c):(d/e/f)

Donde los símbolos representan lo siguiente:

a= distribución de llegadas

b= distribución del tiempo de servicio (o de salidas)

c= numero de servidores en paralelo (c=1,2,3…. )

d= disciplina del servicio (plps, dg,..)

e= numero máximo admitido en el sistema (línea de espera + en servicio)

f= tamaño de la fuente de llamadas

La notación estándar remplaza los símbolos a y b de llegadas y salidas por los códigos siguientes.

M= distribución de llegadas o salidas de poisson ,o, lo que es lo mismo, distribución exponencial entre llegadas o tiempo de servicio.

D=tiempo entre llegadas o de servicio constante o determinística.

E_k= distribución de erlang o gamma de la distribución de tiempo entre llegadas o de servicio con el parámetro k.

GI= distribución de llegada general independiente(o tiempo entre llegadas).

G= distribución de salidas general (o tiempo de servicio).

Para ilustrar la notación, considérese (DG, disciplina general en la notación de Kendal)

(M/D/10): (DG/N/∞)

Por ejemplo, indica que la llegada es Poisson, tiempo de servicio constante y 10 servidores para prestar el servicio, la disciplina de la cola es general, solo se puede alojar N clientes y la población que puede llegar a usar el servicio es infinita. La idea de esta notación fue dada por Kendall en 1953, quien la utilizo en la forma (1/2/3), a esta notación se le conoce en al literatura como notación de Kendall.

Modelo generalizado de poisson

La meta inmediata del modelo generalizado es deducir una expresión para p_n que es la probabilidad que haya exactamente n clientes en el sistema como una función de λ_n la tasa de llegada y de µ_n la tasa de salida. Este modelo es de estado estable (no dependen del tiempo) para la línea generalizada de Poisson con c servidores en paralelo.

Por la naturaleza del problema, cuando el proceso de Poisson se encuentra en el estado n, solo se podrá comunicar con los estados n − 1 o n + 1 con probabilidades de transición µ_n y λ_n−1 respectivamente. Bajo las condiciones de estado estable, deseamos que las tasas 3esperadas de flujo entrante y saliente del estado n sean iguales. Como el estado n se comunica solo con n − 1 y n + 1 entonces tenemos

Similarmente,

(Tasa esperada de flujo entrante desde el estado n) = λ_n−1p_n−1 + µ_n+1p_n+1

(Tasa esperada de flujo saliente desde el estado n) = (λ_n + µ_n)p_n

Igualando las dos tasas obtenemos la ecuación de equilibrio que:

λ_n−1p_n−1 + µ_n+1p_n+1 = (λ_n + µ_n)p_{n      ;}        n = 1, 2, 3, . . .

Para el caso n = 0 tenemos que el estado 0 solo se comunica con el estado 1.

 De donde: λ₀ p₀ = µ₁ p₁

Las ecuaciones de equilibrio se resuelven en forma recursiva comenzando con p1 y procediendo por inducción para determinar p_n. De la ecuación de equilibrio para n = 0, obtenemos

P₁ = (λ₀ / µ₁) p₀

A continuación, para n=1 tenemos

λ₀ p₀ + µ₂ p₂ = (λ₁ + µ₁) p₁

Sustituyendo p₁ = (λ₀/µ₁) p₀ y simplificando tenemos

p₂ =((λ₁ λ₀)/(µ₂ µ₁)) p₀

En general, podemos demostrar por inducción que 

P_n =((λ_n-1λ_n-2 · · · λ₀)/(µ_n µ_n-1 · · · µ₁)) p₀    ;    n = 1, 2, . . .

El valor de p₀ se determina con la siguiente ecuación:

 Medidas de desempeño en estado estable 

Las siguientes denticiones son utilizadas para analizar la operación de las líneas de espera con el fin de hacer recomendaciones sobre el diseño del sistema:

Ls =numero esperado de clientes en el sistema.

Lq =numero esperado de clientes en la cola.

Ws =tiempo estimado de espera en el sistema.

Wq =tiempo estimado de espera en la cola.